一根打了結(jié)的橡皮筋，背后究竟隱藏著怎樣的數(shù)學(xué)奧秘？
在三維空間中，一條閉合的曲線(xiàn)可以以無(wú)數(shù)方式纏繞、紐結(jié)?？此齐S手一扭的形狀，卻構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中極其深邃的研究領(lǐng)域——紐結(jié)理論。而就在過(guò)去的幾年里，一個(gè)長(zhǎng)達(dá)二十余年的數(shù)學(xué)“共識(shí)”，在清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心的青年數(shù)學(xué)家高鴻灝手中被徹底推翻。
數(shù)學(xué)界曾普遍認(rèn)為，一條紐結(jié)能容納的“特殊幾何結(jié)構(gòu)”——拉格朗日填充數(shù)量應(yīng)該極其有限。2022年，高鴻灝與合作者美國(guó)加州大學(xué)戴維斯分校教授羅杰·卡薩爾斯（Roger Casals）首次證明了存在無(wú)限多個(gè)拉格朗日填充，推翻了業(yè)內(nèi)專(zhuān)家二十余年的錯(cuò)誤猜測(cè)，創(chuàng)新性地使用了微局部層、叢代數(shù)理論，證明了大量勒讓德鏈環(huán)都可以界定無(wú)窮多個(gè)拉格朗日填充。
2024年，他們又引入了新理論新技術(shù)，通過(guò)引入箭圖及其勢(shì)能函數(shù)工具，結(jié)合辛幾何，證明了每一個(gè)叢代數(shù)種子均可以提升為拉格朗日填充，由此實(shí)現(xiàn)了填充猜想中滿(mǎn)射的部分，給出了填充完備分類(lèi)的下界，實(shí)現(xiàn)了填充分類(lèi)的又一個(gè)重大突破，推進(jìn)了拉格朗日填充的分類(lèi)問(wèn)題。
這一結(jié)論不僅顛覆了領(lǐng)域認(rèn)知，更構(gòu)建起一座跨越幾何與代數(shù)的全新橋梁，為低維拓?fù)洹⑿翈缀闻c叢代數(shù)等多個(gè)方向的發(fā)展提出了新的理論框架，歷經(jīng)9個(gè)月審稿，成果發(fā)表于國(guó)際頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》，并被評(píng)為“2024年清華大學(xué)最受師生關(guān)注的年度亮點(diǎn)成果”之一，入選“2025年中關(guān)村論壇世界科技領(lǐng)先成就展”。2026年1月3日，憑借在拉格朗日填充分類(lèi)問(wèn)題上的突破性探索，高鴻灝在第十屆世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICCM2025）上榮獲最佳論文獎(jiǎng)。
高鴻灝（左二）在第十屆世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)上榮獲最佳論文獎(jiǎng)
被低估的“無(wú)限”：當(dāng)數(shù)學(xué)直覺(jué)第一次失效
要理解這一突破，可以從一個(gè)樸素的想象開(kāi)始：設(shè)想一根鋼絲被彎成一個(gè)環(huán)狀的結(jié)，它的表面光滑而堅(jiān)硬，那么在它所包圍的空間內(nèi)部，我們能否拉出一張膜，讓這張膜的邊恰好貼在鋼絲上？這張膜就是數(shù)學(xué)意義上的“填充”。
然而數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于任意一張膜，他們關(guān)心的是一種更稀有、更特殊的結(jié)構(gòu)——拉格朗日填充。這種填充滿(mǎn)足辛幾何的嚴(yán)格條件，是高維空間中“運(yùn)動(dòng)”和“能量”最自然的形態(tài)。由于其要求極高，數(shù)學(xué)界長(zhǎng)期認(rèn)為這樣的“特殊膜”應(yīng)該非常稀缺。1990年代起，許多經(jīng)典紐結(jié)都被證明只擁有有限數(shù)量的拉格朗日填充，進(jìn)一步強(qiáng)化了這一直覺(jué)。
拉格朗日填充的一種形態(tài)
然而，在研究紐結(jié)的對(duì)稱(chēng)性時(shí)，高鴻灝與合作者羅杰·卡薩爾斯注意到了一種突破性的跡象：某些幾何操作每一次施加都讓生成的結(jié)構(gòu)發(fā)生微妙但本質(zhì)的變化。他們構(gòu)造出兩個(gè)基本的幾何操作，記作 A 與 B，而它們的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)是——順序不同，則結(jié)果不同。這在數(shù)學(xué)中是一個(gè)足以震動(dòng)整個(gè)領(lǐng)域的信號(hào)：只要能排列出不同的操作順序，就能制造出無(wú)窮多個(gè)彼此不同的拉格朗日填充。換句話(huà)說(shuō)，數(shù)學(xué)界長(zhǎng)期堅(jiān)持的“有限性”假設(shè)，在這些看似普通的環(huán)面結(jié)上徹底失效。
更令人驚訝的是，這種無(wú)限并不是罕見(jiàn)的特例。隨著技術(shù)的完善，高鴻灝與合作者發(fā)現(xiàn)：無(wú)限性并非偶發(fā)，而是廣泛存在于各類(lèi)紐結(jié)中。那些曾被認(rèn)為“結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單”“應(yīng)當(dāng)有限”的紐結(jié)，實(shí)際上往往擁有無(wú)限多種幾何填充方式。這個(gè)發(fā)現(xiàn)直接改寫(xiě)了數(shù)學(xué)界的認(rèn)知版圖，促使研究者重新思考紐結(jié)幾何的本質(zhì)。
從幾何走向代數(shù)：建立“有限與無(wú)限”真正的邊界
如果說(shuō)“構(gòu)造出無(wú)限多種填充”是一束照進(jìn)幾何世界的光，那么更深刻的突破，則是高鴻灝與合作者找到了判斷某個(gè)紐結(jié)是否具有無(wú)限多填充的根本依據(jù)。這個(gè)依據(jù)不來(lái)自幾何的形狀，而來(lái)自代數(shù)結(jié)構(gòu)的分類(lèi)。
拉格朗日填充（圖左）與其對(duì)應(yīng)的叢代數(shù)種子（圖右）
過(guò)去十年，叢代數(shù)（cluster algebra）成為現(xiàn)代代數(shù)的關(guān)鍵工具。它以“箭圖”的形式記錄代數(shù)關(guān)系，并將不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)劃分為兩類(lèi)：ADE 類(lèi)型（有限型）與非 ADE 類(lèi)型（無(wú)限型）。在數(shù)學(xué)中，ADE 類(lèi)型常常代表著非常特殊、對(duì)稱(chēng)性極強(qiáng)、數(shù)量有限的結(jié)構(gòu)，被視為“稀有的秩序”。令人震驚的是，當(dāng)高鴻灝與合作者將紐結(jié)的幾何數(shù)據(jù)與叢代數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)：決定拉格朗日填充是有限還是無(wú)限的，恰恰就是這個(gè)古老的分類(lèi)。
也就是說(shuō)，紐結(jié)的幾何結(jié)構(gòu)中隱藏著一個(gè)純代數(shù)的靈魂。只要它對(duì)應(yīng)的箭圖不屬于 ADE 型，那么它必然有無(wú)限多種拉格朗日填充；反之，如果是 ADE 型，它的填充數(shù)量就被嚴(yán)格限制在有限范圍內(nèi)。每一次純代數(shù)的靈魂能夠找到對(duì)應(yīng)的幾何表達(dá)，都在國(guó)際數(shù)學(xué)界產(chǎn)生轟動(dòng)，而這次更是如此激動(dòng)人心。
然而，要讓這一對(duì)應(yīng)真正成立，還需突破一個(gè)關(guān)鍵難題。幾何構(gòu)造往往無(wú)法直接忠實(shí)模仿代數(shù)變換，原因是幾何對(duì)象在變換過(guò)程中可能出現(xiàn)自相交——兩個(gè)部分撞在一起，導(dǎo)致幾何結(jié)構(gòu)被破壞。為了解決這一問(wèn)題，高鴻灝引入了“帶勢(shì)能的箭圖”技術(shù)。勢(shì)能函數(shù)的存在像一張標(biāo)注風(fēng)險(xiǎn)的地形圖，提前指出可能發(fā)生碰撞的位置，使得幾何的變形可以繞開(kāi)危險(xiǎn)區(qū)域。最終他們證明，代數(shù)世界中的每一個(gè)“種子”，都能在幾何世界中至少找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的拉格朗日填充。這意味著代數(shù)中的“無(wú)限多”，幾何中也真實(shí)存在“無(wú)限多”。
這項(xiàng)成果不僅給出了嚴(yán)格的理論解釋?zhuān)於艘粋€(gè)方向：未來(lái)有可能建立起幾何填充與代數(shù)對(duì)象的“一一對(duì)應(yīng)”。這將使數(shù)學(xué)家能夠依靠代數(shù)計(jì)算來(lái)理解復(fù)雜幾何，為辛幾何與低維拓?fù)浯蜷_(kāi)全新的研究路徑。
在純粹中前行：年輕數(shù)學(xué)家的探索與未來(lái)
數(shù)學(xué)史上的每一次重大推進(jìn)，都來(lái)自研究者對(duì)抽象問(wèn)題的長(zhǎng)期堅(jiān)持。相比那些能立即看到應(yīng)用前景的領(lǐng)域，辛幾何和紐結(jié)理論顯得更加孤獨(dú)，也更加純粹，其魅力在于探索本身。高鴻灝認(rèn)為，真正驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)家前行的是“對(duì)問(wèn)題本身的熱愛(ài)”。
他坦言，許多關(guān)鍵性的構(gòu)想來(lái)自對(duì)結(jié)構(gòu)的直覺(jué)式感應(yīng)，而這種直覺(jué)往往需要長(zhǎng)時(shí)間的積累。構(gòu)造無(wú)限多填充的想法最初并不宏大，只是反復(fù)觀(guān)察幾何操作后的某種不對(duì)稱(chēng)感；而叢代數(shù)的引入，也不是一開(kāi)始就顯而易見(jiàn)，而是在試圖解釋操作模式時(shí)自然出現(xiàn)的線(xiàn)索。“數(shù)學(xué)研究不是執(zhí)著地去證明對(duì)錯(cuò)，而是一個(gè)不斷探索的過(guò)程?！彼f(shuō)。
高鴻灝與學(xué)生討論交流
本科畢業(yè)于香港科技大學(xué)，博士畢業(yè)于美國(guó)西北大學(xué)的高鴻灝，曾先后于法國(guó)傅立葉研究所、美國(guó)密歇根州立大學(xué)從事博士后研究工作。2022年，他做出一個(gè)重要的人生抉擇——回國(guó)加入清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心。這一選擇，源于他對(duì)中心與求真書(shū)院發(fā)展理念的深度認(rèn)同，更源于他學(xué)成報(bào)國(guó)、矢志不渝的歷史使命感。
如今，高鴻灝的學(xué)術(shù)研究在國(guó)際同行中獲得認(rèn)可。同時(shí)，他也將大量時(shí)間投入教學(xué)與人才培養(yǎng)。高鴻灝常鼓勵(lì)學(xué)生們探索那些鮮有人關(guān)注的研究方向，用熱愛(ài)點(diǎn)亮學(xué)術(shù)道路。
高鴻灝作為班主任代表發(fā)言
談及中國(guó)數(shù)學(xué)的未來(lái)，他充滿(mǎn)信心。在他看來(lái)，中國(guó)年輕學(xué)者正在越來(lái)越多地站在科學(xué)研究的世界前沿上。大量針對(duì)基礎(chǔ)研究的投入，更加開(kāi)放的國(guó)際合作，也讓中國(guó)數(shù)學(xué)在過(guò)去十年呈現(xiàn)前所未有的活力，特別是在幾何與代數(shù)的交叉領(lǐng)域，中國(guó)團(tuán)隊(duì)已具備形成原創(chuàng)體系的潛力。
在這些探索與期待中，那些原本被視為“不可能”的無(wú)限，正在被重新理解。而在紐結(jié)深處，被遮蔽許久的幾何可能性，正被一位青年數(shù)學(xué)家與他的學(xué)生們一點(diǎn)點(diǎn)照亮。
