清華新聞網(wǎng)1月27日電 子因子（subfactor）理論是泛函分析中的一個(gè)重要方向。20世紀(jì)80年代，沃恩·瓊斯（Vaughan Jones）在研究子因子的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了瓊斯多項(xiàng)式（Jones polynomial）這一著名的扭結(jié)不變量。1989年，愛(ài)德華·威滕（Edward Witten）從物理的角度將瓊斯多項(xiàng)式置于三維拓?fù)鋱?chǎng)論的大框架下，并且與二維共形場(chǎng)論聯(lián)系起來(lái)。
在數(shù)學(xué)上，二維共形場(chǎng)論有兩種看起來(lái)完全不同的數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)方式——共形網(wǎng)（conformal net）方法和頂點(diǎn)算子代數(shù)（vertex operator algebra）方法。前者屬于泛函分析，并且與子因子有天然的聯(lián)系。后者屬于表示論這一代數(shù)方向，起源于20世紀(jì)80年代理查·博赫茲（Richard Borcherds）對(duì)怪獸月光（Monstrous Moonshine）猜想的證明。證明共形網(wǎng)和頂點(diǎn)算子代數(shù)具有等價(jià)的表示范疇（representation category）是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題：一方面，只有證明二者具有等價(jià)的表示范疇，才能明確它們對(duì)應(yīng)了相同的三維拓?fù)鋱?chǎng)論；另一方面，證明表示范疇的等價(jià)性，才能讓數(shù)學(xué)家更好地理解二維共形場(chǎng)論的兩種數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)方式為何在本質(zhì)上是一樣的。
論文主要成果
北京時(shí)間1月23日，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授歸斌在《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》（Inventiones Mathematicae）上在線(xiàn)發(fā)表文章“共形網(wǎng)的范疇擴(kuò)張中的無(wú)界場(chǎng)算子”（Unbounded field operators in categorical extensions of conformal nets）。歸斌是論文的唯一作者。
在這篇文章中，歸斌創(chuàng)新地對(duì)共形網(wǎng)表示的融合積（fusion product of representations of conformal nets）建立了系統(tǒng)的無(wú)界算子理論。借助于這一理論，傳統(tǒng)上只適用于有界算子的子因子理論被拓寬到無(wú)界算子上，從而更加適用于量子場(chǎng)論的數(shù)學(xué)研究。作為該理論的應(yīng)用，歸斌在這篇文章中證明了許多共形網(wǎng)和相應(yīng)的頂點(diǎn)算子代數(shù)都有等價(jià)的表示范疇，特別是對(duì)于維斯-祖米諾-威滕（Weiss–Zumino–Witten）模型這一類(lèi)最重要的二維共形場(chǎng)論模型，由此解決了與維斯-祖米諾-威滕（Weiss–Zumino–Witten）模型相關(guān)的一個(gè)長(zhǎng)期懸而未決的猜想。
論文鏈接：
https://doi.org/10.1007/s00222-026-01407-7
供稿：數(shù)學(xué)中心
編輯：李華山
審核：郭玲
